如何判断矩阵合同？

判断矩阵合同要两个矩阵合同的条件是特征值的正负惯性指数相同（即特征值正负个数相同），所以实对称矩阵相似必然合同。

1、对于n阶实对称矩阵A, 若其前n-1阶顺序主子式都非零, 那么A可以用Gauss消去法分解成A=LDL^T的形式得k阶顺序主子式可以从D的前k个对角元得到, 这就是判断惯性指数的原理

如果前n-1阶顺序主子式中出现0, 那么上述方法会失效, 一般可以做适当排序之后做上述分解并允许D含有2阶对角块， 

设M是n阶实系数对称矩阵，

如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)=

X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵。一种实对称矩阵。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(=A′)称为正定矩阵。

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

2、正交变换时，合同的对角矩阵是由A的特征值构成的，

其它合同变换时，合同的对角矩阵不是由A的特征值构成的，不过特征值的正负的个数（惯性指数）相同。

实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的正负惯性指数 

第1个矩阵的正负惯性指数分别为2,1 

第2个矩阵对应的二次型经配方法可知其正负惯性指数分别为2,1 

故两个矩阵合同倘若我们总是以自己的尺度来衡量万事万物，则我们什么也得不到。所谓矩阵合同， 关键是矩阵合同需要如何写。

总结；那么不管这个内积是怎么定义的，你都把矩阵当作了一个向量。因为只有在向量空间里才能定义内积。即，虽然你写出一个m*n的矩阵，实际上你把它看成了一串长长得mn*1维（或者1*mn）的向量。